Simulation Monte Carlo avec GBM Une des méthodes les plus courantes pour estimer le risque est l'utilisation d'une simulation Monte Carlo (MCS). Par exemple, pour calculer la valeur à risque (VaR) d'un portefeuille, nous pouvons exécuter une simulation Monte Carlo qui tente de prédire la pire perte probable pour un portefeuille donné un intervalle de confiance sur un horizon de temps spécifié nous devons toujours spécifier deux Conditions de la VaR: confiance et horizon. (Pour les lectures connexes, voir Utilisations et limites de la volatilité et Introduction à la valeur à risque Partie 1 et Partie 2). Dans cet article, nous examinerons un MCS de base appliqué à un cours de l'action. Nous avons besoin d'un modèle pour spécifier le comportement du prix des actions, et bien utiliser l'un des modèles les plus courants en finance: mouvement brownien géométrique (GBM). Par conséquent, alors que la simulation de Monte Carlo peut se référer à un univers de différentes approches de la simulation, nous allons commencer ici avec le plus élémentaire. Où commencer Une simulation Monte Carlo est une tentative de prédire l'avenir à plusieurs reprises. À la fin de la simulation, des milliers ou des millions d'essais aléatoires produisent une distribution des résultats qui peuvent être analysés. Les étapes de base sont les suivantes: 1. Spécifier un modèle (par exemple, mouvement brownien géométrique) 2. Générer des essais aléatoires 3. Traiter la sortie 1. Spécifier un modèle (par exemple GBM) Dans cet article, nous allons utiliser le mouvement géométrique brownien (GBM) Qui est techniquement un processus de Markov. Cela signifie que le cours de l'action suit une marche aléatoire et est compatible avec (au moins) la forme faible de l'hypothèse de marché efficace: l'information sur les prix passés est déjà incorporée et le mouvement des prix suivant est conditionnellement indépendant des mouvements de prix passés . (Pour plus d'informations sur EMH, lisez Travailler à travers l'hypothèse de marché efficace et ce qui est l'efficacité du marché) La formule pour GBM se trouve ci dessous, où S est le prix des actions, m (le mu grec) est le rendement attendu. S (sigma grec) est l'écart type des rendements, t est le temps, et e (epsilon grec) est la variable aléatoire. Si nous réarrangons la formule pour résoudre juste pour la variation du cours des actions, nous voyons que GMB dit que la variation du cours des actions est le prix des actions S multiplié par les deux termes trouvés dans la parenthèse ci dessous: Le premier terme est une dérive et le second Terme est un choc. Pour chaque période de temps, notre modèle suppose que le prix va dériver vers le haut par le rendement attendu. Mais la dérive sera choquée (ajoutée ou soustraite) par un choc aléatoire. Le choc aléatoire sera l'écart type s multiplié par un nombre aléatoire e. Il s'agit simplement d'un moyen de mettre à l'échelle l'écart type. Le prix des actions suit une série d'étapes, où chaque étape est une dérive plusminus un choc aléatoire (lui même une fonction de l'écart type des stocks): Brownian Motion et le marché FOREX Par Armando Rodriguez Il ne serait pas une première qu'une formulation développée pour des phénomènes dans un champ est utilisée avec succès dans un autre, elle a même un nom, et elle s'appelle l'analogie. Il existe de nombreux exemples d'analogies que la formulation pour résoudre les structures mécaniques statiques est la même que celle utilisée pour résoudre les réseaux électriques diffus diffus comme l'encre dans l'eau calme, et tant d'autres. Ici, nous établissons l'analogie des variations des prix du marché FOREX à la motion brownienne. Aussi les analogies ne se font pas seulement pour la jouissance de la symétrie de la nature mais habituellement après quelque but pratique. Dans ce cas, nous voulons savoir quand un algorithme commercial n'est pas susceptible de profit et donc le commerce devrait être mis en attente. Le mouvement brownien mouvement brownien (nommé en l'honneur du botaniste Robert Brown) à l'origine se référait au mouvement aléatoire observé sous microscope de pollen immergé dans l'eau. C'était déroutant parce que la particule de pollen suspendue dans l'eau parfaitement immobile n'avait aucune raison apparente de déplacer tout. Einstein a souligné que ce mouvement a été causé par le bombardement aléatoire de (chaleur excitée) des molécules d'eau sur le pollen. C'était juste le résultat de la nature moléculaire de la matière. La théorie moderne l'appelle un processus stochastique et il a été prouvé qu'il peut être réduit au mouvement un randonneur aléatoire. Un déambulateur aléatoire unidimensionnel est celui qui est aussi susceptible de prendre un pas vers l'avant que vers l'arrière, disons axe X, à un moment donné. Un marcheur aléatoire bidimensionnel fait la même chose en X ou Y (voir illustration). Les prix des actions changent légèrement sur chaque transaction, un achat va augmenter sa valeur une vente va diminuer. Sous réserve de milliers de transactions d'achat et de vente, les cours des actions devraient afficher un mouvement brownien unidimensionnel. C'était le sujet de Louis Bachelier thèse de doctorat en 1900, «théorie de la spéculation». Il présente une analyse stochastique des marchés des actions et des options. C urrency taux devraient se comporter beaucoup comme une particule de pollen dans l'eau aussi. Spectre brownien Une propriété intéressante du mouvement brownien est son spectre. Toute fonction périodique dans le temps peut être considérée comme la somme d'une série infinie de fonctions sinécsines de fréquences multiples à l'inverse de la période. C'est ce qu'on appelle la série de Fourier. Le concept peut être étendu à des fonctions non périodiques, permettant à la période d'aller à l'infini, et ce serait l'intégrale de Fourier. Au lieu d'une séquence d'amplitudes pour chaque fréquence multiple que vous traitez avec une fonction de la fréquence, cette fonction est appelée spectre. La représentation du signal dans l'espace de fréquence est le langage courant dans la transmission de l'information, la modulation et le bruit. Les égaliseurs graphiques, inclus même dans l'équipement audio domestique ou le programme audio de PC, ont apporté le concept de la communauté scientifique au ménage Présent dans n'importe quel signal utile est le bruit. Ce sont des signaux indésirables, de nature aléatoire, provenant de différentes origines physiques. Le spectre du bruit se rapporte à son origine: Le bruit JyhnsonNyquist (bruit thermique, bruit Johnson ou bruit Nyquist) est le bruit électronique généré par l'agitation thermique des porteurs de charge (habituellement les électrons) à l'intérieur d'un conducteur électrique à l'équilibre N'importe quelle tension appliquée. Le bruit thermique est approximativement blanc. Ce qui signifie que la densité spectrale de puissance est égale dans tout le spectre de fréquence. Le bruit de scintillement est un type de bruit électronique avec un 1f, ou spectre rose. On parle donc souvent de bruit ou de bruit rose. Bien que ces termes aient des définitions plus larges. Il se produit dans presque tous les appareils électroniques. Et résulte d'une variété d'effets, tels que des impuretés dans un canal conducteur, un bruit de génération et de recombinaison dans un transistor en raison du courant de base, et ainsi de suite. Enfin, le bruit brownien ou le bruit rouge est le genre de bruit de signal produit par le mouvement brownien. Sa densité spectrale est proportionnelle à 1f 2. ce qui signifie qu'il a plus d'énergie aux fréquences basses, encore plus que le bruit rose. L'importance de cette discussion est que lorsque vous calculez le spectre du signal FOREX taux il arrive d'avoir une 1f 2 dépendance, ce qui signifie que c'est aussi Brownian dans la nature. Comportement dans le temps Le comportement du marché FOREX en l'absence d'événements se comporte aussi parfaitement brownien. C'est à dire que les taux de FOREX se comportent comme des marcheurs aléatoires unidimentional. La densité de probabilité de trouver un randonneur aléatoire à la position x après un temps t suit la loi gaussienne. Où s est l'écart type, que pour un randonneur aléatoire est une fonction de la racine carrée de t et c'est ce que les taux FOREX suivre à la perfection expérimentale comme indiqué ci dessous pour les cotations EURUSD dans la figure 1. Une expression analytique pour le chiffre ci dessus avec Taux en pips et t en minutes à partir d'un temps initial t 0: En moyenne, il ya 45 devis EURUSD dans une minute, donc l'expression ci dessus peut être mis en termes de la Nième citation après une première heure. Mouvements de dérive et de mouvement aléatoire Le mouvement de particules de pollen peut être dit avoir deux composantes, un aléatoire dans la nature décrite ci dessus, mais si le liquide a un flux dans une certaine direction, alors un mouvement de dérive est superposé au Brownien. Le marché FOREX présente les deux types de mouvement, une composante aléatoire de fréquence plus élevée et des mouvements de dérive plus lents causés par des nouvelles affectant les taux. Le mouvement aléatoire est mauvais pour l'entreprise de spéculation il n'y a aucun moyen de la moyenne un bénéfice sur un marché parfaitement aléatoire. Seul le mouvement de dérive peut générer des bénéfices. Le hasard du marché n'est pas constant dans le temps ni le mouvement de dérive. Au cours des événements d'actualité, les mouvements de dérive sont grands et c'est au cours des événements que les profits peuvent être réalisés, mais il ya des événements plus propres dans lequel les algorithmes automatiques fonctionnent le mieux et il ya des sales, avec beaucoup de hasard, qui peut conduire l'algorithme intelligent dans perdant. Dans un système physique, l'intensité du mouvement brownien d'une particule peut être considérée comme le carré moyen de sa vitesse aléatoire et celle ci est proportionnelle à la température et inversement à la masse des particules. LtVrdm 2 gt 3KTm La vitesse aléatoire est la différence entre la vitesse totale moins la vitesse moyenne ou la vitesse de dérive. Le vrai sens de la vitesse de dérive serait la vitesse moyenne d'un grand nombre de particules à un moment donné qui indiquerait que le corps entier de liquide et de particules en suspension se déplace dans son ensemble. Mais comme la vitesse aléatoire doit être moyenne dans le temps à zéro, la vitesse moyenne d'une particule dans le temps est égale à la vitesse de dérive. Dans l'analogie du marché FOREX, le taux de la paire de devises est la position dimensionnelle des particules, et donc la vitesse à tout moment t est le mouvement de la citation depuis la dernière citation à l'instant t 0 divisée par l'intervalle de temps. La vitesse moyenne serait la moyenne mobile exponentielle des citations. La température de la paire de devises Tcp serait alors: Tcp (m3K) ltVrdm 2 gt La masse d'une paire de devises est une grandeur à définir, donc la constante de Boltzman n'a aucune signification ici. Pourtant, l'intensité moyenne à long terme du mouvement de la vitesse Brownian est observée pour dépendre de la paire de devises, de sorte qu'ils semblent montrer des masses différentes. Trouver la masse pour chaque paire de devises permettrait d'avoir une référence commune pour la température. Si nous prenions la masse d'EUR comme 1, alors: Les masses ci dessus rendent une température moyenne semblable à 300 K qui est égale à la température ambiante dans l'échelle de Kelvin qui correspond à 27 degrés Celsius. ou 80.6 Fahrenheit. Mais en plus de fanciness il ne donne pas un aperçu plus profond du problème. La production (m3K) 1, rend une température qui est égale à la variance des vitesses. Puisque la racine carrée de la variance est l'écart type, une telle définition de la température donne une idée de l'intensité du mouvement aléatoire dans pips. second. Détection d'événements et température des devises Un événement d'actualité affectant la valeur du dollar américain peut être détecté lorsque ses taux pour le reste des principales devises changent de façon cohérente. En d'autres termes, lorsque les mouvements de taux se trouvent à corréler. (Voir l'annexe A sur le calcul du déclenchement des événements) Une expression numérique de cette corrélation est la moyenne de la différence par rapport à sa moyenne mobile exponentielle (EMA) sur l'ensemble des principales devises. Le problème avec cette approche est que les monnaies importantes à considérer ne sont pas que beaucoup, en fait seulement 6 paires peuvent être utilisés. Une moyenne sur un tel petit échantillon n'est pas immunisée contre le mouvement aléatoire et encline à rendre des faux positifs. La détection pourrait être améliorée si la contribution à la moyenne est inversement pondérée par la température des paires. Plus précisément: on pense à la probabilité que la vitesse de vitesse observée ne soit pas due à la nature brownienne du mouvement. En sachant que la distribution de vitesse dans les mouvements browniens est Gaussienne, en l'absence d'un événement, la probabilité d'observer une vitesse inférieure à une valeur V peut être calculée par la zone sous la courbe de densité de probabilité gaussienne: En mots, la courbe nous dit ceci: Considérons la paire EURUSD qui montre typiquement un ltVrdm 2 gt de 2,94 pipssecond, les vitesses sous cette valeur sont observées 68,2 du temps, au delà seulement de 31,8. Ainsi, il est juste de dire que si une vitesse observée est au dessus, disons 6, il est très peu probable (4.4) que cela provienne du hasard. L'expression mathématique de la probabilité d'une vitesse V, non aléatoire, est: P erf ((V 2 ltVrdm 2 gt)) où erf (x) est connue sous le nom de fonction d'erreur. La moyenne pondérée des corrélations sera maintenant: APPENDICE A Le déclencheur d'événement
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